群论导论 (Introducció

2022-11-06 04:07| 来源: 网络整理| 查看: 265

群论导论 Article

November 5, 2022

在数学中，群论研究群。群是一种代数结构，它由一个集合和一个操作组成，该操作将其元素的任何对组合成第三个元素。为了被归类为一个群，集合和运算必须满足一些称为群公理的条件，这些条件是：具有结合性、具有元素同一性和逆元素。虽然这些特征为许多数学结构所熟悉，例如不同的数系统（例如，赋予加法运算的整数形成群结构），但公理的表述与群的特定性质及其运算是分开的。这允许在抽象代数和其他领域处理以灵活的方式分析非常不同的数学起源，同时保留许多对象的基本结构方面。群在许多领域（数学内部和外部）的普遍存在使它们成为组织当代数学的中心原则。群与对称性的概念有着基本的联系。对称组对几何对象的对称特征进行编码：它由一组保持对象不变的变换，以及通过一个接一个执行组合这些变换中的两个的操作组成。这种对称群，尤其是连续李群，在许多学科中都扮演着重要的角色。矩阵组，例如，它们可用于理解分子化学中相对论和对称现象所依据的基本物理定律。群的概念起源于多项式方程的研究，始于 1830 年代的 Évariste Galois。经过数论和几何等其他领域的贡献，群的概念在 1870 年左右得到推广和稳固。现代群论（一个非常活跃的数学学科）研究小组本身。为了探索群，数学家设计了各种概念，将群分成更小、更易于理解的部分，例如子群、商群和简单群。除了它的抽象属性，群论者还从理论的角度和计算的角度研究了一个群以具体方式（其群表示）表达自己的不同方式。已经为有限群发展了一个特别丰富的理论，最终于 1983 年完成了简单有限群的分类。

定义和说明第一个例子：整数最熟悉的组之一是整数集 Z，它由数字 ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... 的以下性质组成整数的加法用作下面定义中给出的抽象群公理的模型。对于任意一对整数 a 和 b，a + b 之和也是整数。换句话说，一次将两个整数相加的过程永远不会产生一个整数以外的结果。这个性质被称为关于加法的闭包。对于所有整数 a, bic, (a + b) + ca + (b + c)。用文字表示，先将 a 和 b 相加，然后将结果与 c 相加，得出的最终结果与将 bic 相加的结果相加，此属性称为关联属性。如果 a 是任意整数，然后 0 + aa + 0 a。零被称为加法的单位元素，因为将它加到任何整数上都会得到相同的整数。对于每个整数a，存在一个整数b，使得a+bb+a=0。整数b称为整数ai的逆元素，记为-a。定义整数与“+”运算一起形成一个数学对象，该对象属于一个庞大的类，其中还有其他具有相似结构方面的对象。为了分别正确理解这些未经处理的结构，我们开发了以下抽象定义，其中包括引用的示例以及许多其他示例，其中之一是下面详述的对称群。群是一个集合 G，结合二元运算“•”，将 G 的任意两个元素 a 和 b 组合成另一个元素，表示为 a • b。 “•”符号是表示任何特定给定运算的通用元素，例如上面的加法。为了有资格作为一个组，集合和操作（G，•），它们必须满足称为群公理的四个要求：执行群操作的顺序可能很重要。换句话说，操作元素 a 和元素 b 的结果不一定与操作 b 和 a 的结果相同；等式 a • bb • apot 并不总是正确的。这个等式对于带加法的整数群总是成立，因为 a + bb + a 对于任意两个整数（加法的交换性质）。然而，它并不总是在下面的对称群中遇到。始终满足方程 a • bb • a 的群称为阿贝尔群（以纪念 Niels Henrik Abel）。因此，具有加法的整数群是阿贝尔群，但下一个对称群不是。执行组操作的顺序可能很重要。换句话说，操作元素 a 和元素 b 的结果不一定与操作 b 和 a 的结果相同；等式 a • bb • apot 并不总是正确的。这个等式对于带加法的整数群总是成立，因为 a + bb + a 对于任意两个整数（加法的交换性质）。然而，它并不总是在下面的对称群中遇到。始终满足方程 a • bb • a 的群称为阿贝尔群（以纪念 Niels Henrik Abel）。因此，具有加法的整数群是阿贝尔群，但下一个对称群不是。执行组操作的顺序可能很重要。换句话说，操作元素 a 和元素 b 的结果不一定与操作 b 和 a 的结果相同；等式 a • bb • apot 并不总是正确的。这个等式对于带加法的整数群总是成立，因为 a + bb + a 对于任意两个整数（加法的交换性质）。然而，它并不总是在下面的对称群中遇到。始终满足方程 a • bb • a 的群称为阿贝尔群（以纪念 Niels Henrik Abel）。因此，具有加法的整数群是阿贝尔群，但下一个对称群不是。元素 b 不一定要给出与操作 b 与 a 相同的值；等式 a • bb • apot 并不总是正确的。这个等式对于带加法的整数群总是成立，因为 a + bb + a 对于任意两个整数（加法的交换性质）。然而，它并不总是在下面的对称群中遇到。始终满足方程 a • bb • a 的群称为阿贝尔群（以纪念 Niels Henrik Abel）。因此，具有加法的整数群是阿贝尔群，但下一个对称群不是。元素 b 不一定要给出与操作 b 与 a 相同的值；等式 a • bb • apot 并不总是正确的。这个等式对于带加法的整数群总是成立，因为 a + bb + a 对于任意两个整数（加法的交换性质）。然而，它并不总是在下面的对称群中遇到。始终满足方程 a • bb • a 的群称为阿贝尔群（以纪念 Niels Henrik Abel）。因此，具有加法的整数群是阿贝尔群，但下一个对称群不是。它并不总是在下面的对称群中遇到。始终满足方程 a • bb • a 的群称为阿贝尔群（以纪念 Niels Henrik Abel）。因此，具有加法的整数群是阿贝尔群，但下一个对称群不是。它并不总是在下面的对称群中遇到。始终满足方程 a • bb • a 的群称为阿贝尔群（以纪念 Niels Henrik Abel）。因此，具有加法的整数群是阿贝尔群，但下一个对称群不是。第二个例子：对称群正方形的对称性（即旋转和反射）形成一个称为二面体群的群，并注意到 D4。它具有以下对称性：使一切保持原样的恒等运算，记为 id；正方形向右旋转 90°，向右旋转 180°，向右旋转 270°，分别记为 r1、r2 和 r3；相对于垂直和水平轴（fv 和 fh），或相对于两条对角线（fd 和 fc）的反射。任何两个对称 a 和 b 都可以组合，即一个接一个地应用。先做 a 再做 b 的结果从左到右象征性地写成 b • a（“在你应用对称 a 之后应用对称 b。”从右到左的表示法来自于函数组合的表示法） .右侧的组表显示了所有可能组合的结果。例如，向右转270°（r3），然后进行水平反射（fh）与沿对角线（fd）进行反射相同。使用群表中用蓝色阴影引用的符号：fh • r3 fd。鉴于这组对称性和所描述的操作，群公理可以理解如下： 1. 闭包公理要求组合 b • a两个对称性任何 a 和 b 也是对称性。群运算的另一个例子是 r3 • fh fc，即在水平反射后向右旋转 270° 与沿对角线 (fc) 进行反射相同。实际上，两个对称性的每两个组合都会给出一个对称性，可以使用组表进行检查。 2.结合性的条件处理组合两个以上的对称性：给定三个元素a，D4的bic，有两种可能的方法来计算“a then b then c”。要求(a•b)•ca•(b•c)表示三个元素的组合与操作的优先级无关，即组件a加b，然后c加a•b等价于做b之后的组合c。例如 (fd • fv) • r2 fd • (fv • r2) 可以使用右侧的组表进行检查 3. 标识元素是对称 id，它使所有内容保持不变：对于任何对称 a，在 a 之后执行 id (或a after id) 等于aa，象征性地，id • aa, a • id a.4。一个逆元素撤消了变换其他一些元素。所有的对称性都可以撤销：每个变换：id、fh、fv、fd、fc 和 r2 都是它们自己的逆，因为每执行两次都会使正方形回到原来的方向。旋转 r3 和 r1 互为倒数，因为转向一个角，然后在另一侧需要相同的角度，使正方形保持不变。在符号中， fh • fh id, r3 • r1 r1 • r3 id. 与上面的整数组不同，运算的顺序无关紧要，在 D4 中它很重要：fh • r1 fc 但 r1 • fh fd。换句话说，D4 不是阿贝尔的，这使得群结构比前面介绍的整数更困难。因为每动作两次会使方块回到原来的方向。旋转 r3 和 r1 互为倒数，因为转向一个角，然后在另一侧需要相同的角度，使正方形保持不变。在符号中， fh • fh id, r3 • r1 r1 • r3 id. 与上面的整数组不同，运算的顺序无关紧要，在 D4 中它很重要：fh • r1 fc 但 r1 • fh fd。换句话说，D4 不是阿贝尔的，这使得群结构比前面介绍的整数更困难。因为每动作两次会使方块回到原来的方向。旋转 r3 和 r1 互为倒数，因为转向一个角，然后在另一侧需要相同的角度，使正方形保持不变。在符号中， fh • fh id, r3 • r1 r1 • r3 id. 与上面的整数组不同，运算的顺序无关紧要，在 D4 中它很重要：fh • r1 fc 但 r1 • fh fd。换句话说，D4 不是阿贝尔的，这使得群结构比前面介绍的整数更困难。上面的整数，其中操作的顺序无关紧要，但在 D4 中确实很重要：fh • r1 fc 但 r1 • fh fd。换句话说，D4 不是阿贝尔的，这使得群结构比前面介绍的整数更困难。上面的整数，其中操作的顺序无关紧要，在 D4 中它确实重要：fh • r1 fc 但 r1 • fh fd。换句话说，D4 不是阿贝尔的，这使得群结构比前面介绍的整数更困难。历史抽象群的现代概念是通过许多数学领域发展起来的。群论发展的最初动机是寻找阶数大于 4 的多项式方程的解。 19 世纪法国数学家 Évariste Galois 扩展了 Paolo Ruffini 和 Joseph-Louis Lagrange 之前的工作，给出了可解性的标准一个特定多项式方程的根（解）的对称群。这个伽罗瓦群的元素对应于根的某些排列。起初，伽罗瓦的思想被同时代的人拒绝，直到死后才发表。更一般地，置换群特别由奥古斯丁·路易斯·柯西 (Augustin Louis Cauchy) 进行了研究。阿瑟·凯莱在依赖于符号方程 θn 1 (1854) 的群理论中，给出了有限群的第一个抽象定义。几何是第二个系统使用群的领域，尤其是对称群。作为 Felix Klein 1872 年 Erlangen 计划的一部分在双曲几何和射影几何等新几何出现后，克莱因使用群论将它们以更连贯的方式组织起来。进一步推进这些想法，Sophus Lie 于 1884 年创立了李群的研究。对群论做出贡献的第三个领域是数论。卡尔·弗里德里希·高斯 (Carl Friedrich Gauss) 关于数字的理论工作中隐含地使用了某些阿贝尔群结构 (1798)，利奥波德·克罗内克 (Leopold Kronecker) 更为明确。 1847 年，恩斯特·库默 (Ernst Kummer) 首次尝试通过开发描述素数分解的群来证明费马大定理达到高潮。将这些不同来源收敛为统一群论始于卡米尔 (Camille) 的 Traité des replacements et des équations algébriques Jordan 在 1870 年。 Walther von Dyck (1882) 给出了抽象群的第一个现代定义。从 20 世纪开始，这些群因 Ferdinand Georg Frobenius 和 William Burnside 的开创性工作而获得广泛认可，他们致力于有限群表示理论、Richard Brauer 的模表示理论和 Essai Schur 的论文。李群理论，更普遍的局部紧群理论，它是由 Hermann Weyl、Élie Cartan 和许多其他人推动的。它的代数对应物，代数群论，首先由 Claude Chevalley（自 1930 年代后期）提出，后来由 Armand Borel 和 Jacques Tits 的基础工作提出。芝加哥大学汇集了诸如 Daniel Gorenstein、John G. Thompson 和 Walter Feit 建立了合作的基础，在许多其他数学家的贡献下，1982 年对所有单群进行了有限分类。该项目由于其庞大的规模而超过了以前所有的数学成果，无论是在长度方面示范和研究人员的数量。简化这种分类演示的研究仍在开发中。今天，群论仍然是一个高度活跃的数学分支，在许多其他领域都有重要的影响。群公理的简单推论可以从群公理直接获得的关于所有群的基本事实通常包含在初等群论中。例如，结合性公理的重复应用表明，a • b • c (a • b) • ca • (b • c) 的明确性被推广到三个以上的因素。因为这意味着括号可以在一系列项中的任何地方输入，所以括号通常被省略。公理只能通过左侧的中性元素和逆元素的存在来弱化和断言。可以证明两者实际上都必须在两个角边上，因此结果定义等价于上面给出的定义。元素恒等和逆的唯一性群公理的两个重要结果是单位元的唯一性和逆元的唯一性。一个群中只能有一个单位元素，并且一个群中的每个元素都恰好有一个逆元素。因此，常说单位元和元的逆元，为了证明a的逆元的唯一性，假设a a 有两个逆元，记为li r。那么这里，两个极值元素 lir 由一串等式连接，所以它们是相同的。换句话说，a 中只有一个逆元素。分配在群中，可以进行除法：给定群 G 的两个元素 a 和 b，方程 x • a b 的 G 解只有一个元素 x。事实上，将方程的两项右乘 - 1 我们得到解 xx • a • a - 1 b • a - 1。类似地，方程a•yb的G解有一个单元素y，即ya-1•b。一般来说，xiy 不一定要匹配。必须注意划分这个词的含义。这是群运算的逆运算；因为群运算通常被称为乘法，所以称其为逆除法是正常的。但是，例如，对于具有和的整数组，逆运算是余数。基本概念为了理解超出上述单纯符号操作水平的群体，必须采用更多的结构性概念。下面所有概念都有一个概念原则：利用群提供的结构（例如“无结构”的集合没有），群相关的构造必须与群的操作兼容。这种兼容性以几种方式体现在以下概念中。例如，群可以通过称为群同态的函数相互关联。根据上述原则，他们必须严格尊重群体结构。群的结构也可以通过将它们分成称为子群和商群的部分来理解。“守恒结构”的原则——在数学中到处重复的主题——是在类别中工作的一个例子，在这种情况下是群的类别。群同态群同态是保留群结构的函数。两个群之间的函数a：G→H是同态，如果方程a(g•k)a(g)•a(k)对G的所有元素g、k都成立，也就是说结果是无论是在应用函数a之前还是之后执行组操作都相同。这个要求确保了 a (1G) 1H，并且对于 G 的所有 g 也确保 a (g) -1 a (g − 1)。因此，群同态尊重群公理提供的 G 的整个结构。两个群 G如果群 a 有同态：G→H 和 b：H→G，则和 H 被称为同构，这样依次应用这两个函数（以两种可能的顺序中的每一个）给出 G 和 H 的函数身份，分别。即，a(b(h))hib(a(g))g对于H的Gih中的任意g。从抽象的角度来看，同构群携带相同的信息。例如，证明对于 G 的某个元素 g 的 g • g 1 等价于证明 a (g) • a (g) 1，因为将 aa 应用于第一个等式得到第二个，并且再次将 ba 应用于第二个女人首先。子群非正式地，子群是包含在更大群中的群H，具体来说，G的单位元包含在H中，只要h1和h2是H，那么h1•h2和h1−1也是H，因此元素的H，配备了G中限制为H的组的操作，形成一个组。在上面的例子中，恒等和旋转构成了一个子群 R {id, r1, r2, r3}，在上面的群表中用红色阴影表示：任意两个复合旋转也是一个旋转，并且可以通过（即, 是）互补旋转 270°×90°、180°×180° 和 90°×270°（注意，旋转未定义为相反方向）的逆。子群检验是群 G 的子集 H 成为子群的充要条件： n '只需检查所有元素 g, h ∈ H 的 g − 1h ∈ H 就足够了。了解子群对于全局理解群很重要。给定群 G 的任何子集 S，由 S 生成的子群由 S 个元素的乘积组成和它们的逆。这是 G 中包含 S 的最小子群。在上面的例子中，由 r2 和 fv 生成的子群由这两个元素组成，单位元素 id 和 fh fv • r2。同样，这是一个子群，因为组合这四个元素中的任意两个元素或它们的逆（在这种特殊情况下，这些相同的元素）给出了这个子群的一个元素。S 生成的子群由 S 的元素及其逆元的乘积组成。这是 G 中包含 S 的最小子群。在上面的例子中，由 r2 和 fv 生成的子群由这两个元素组成，单位元素 id 和 fh fv • r2。同样，这是一个子群，因为组合这四个元素中的任意两个元素或它们的逆（在这种特殊情况下，这些相同的元素）给出了这个子群的一个元素。S 生成的子群由 S 的元素及其逆元的乘积组成。这是 G 中包含 S 的最小子群。在上面的例子中，由 r2 和 fv 生成的子群由这两个元素组成，单位元素 id 和 fh fv • r2。同样，这是一个子群，因为组合这四个元素中的任意两个元素或它们的逆（在这种特殊情况下，这些相同的元素）给出了这个子群的一个元素。这四个或它们的逆（在这种特殊情况下，这些相同的元素）给出了这个子群的一个元素。这四个或它们的逆（在这种特殊情况下，这些相同的元素）给出了这个子群的一个元素。副课在许多情况下，如果两个组元素的差异属于给定的子组，则需要将两个组元素视为相同。例如，在上面定义的 D4 中，一旦执行了反射，正方形永远不会通过仅应用旋转操作（而不是其他反射）而返回到 r2 配置，即旋转操作与反射是否已被执行的问题无关制作。横向类用于形式化这一观察：子群 H 定义了从左到右的横向类，这可以理解为 H 由任意元素 g ∈ G 的平移。在符号方面，l 'left 和 right of H 的横向类包含 g 的分别是 gH {gh, h ∈ H} 和 Hg {hg, h ∈ H}。任何子群 H 的边类构成 G 的一个划分；也就是说，例如，左边的两个横向类要么相等，要么有一个空的交集，左边所有横向类的并集给出 G。第一种情况（即 g1H g2H）恰好在 g1−1g2 ∈ H 时给出，也就是说，如果两个元素之间的差异是 H 的一个元素。类似的考虑适用于右侧 H 的横向类。左侧和右侧的 H 的横向类别可能相同，也可能不同。如果它们是，即对于 G 的所有 g，gH Hg，则称 H 是正规子群。那么我们可以简单地将 N 称为边类的集合。在 D4 中，介绍中使用的对称群，用于由旋转组成的子群 R 的左 gR 要么等于 R，如果 g 本身是 R 的一个元素，要么等于 U fvR {fv, fd, fh, fc}（绿色阴影）。子群 R 也是正规的，因为 fvR U Rfv 和类似的对于 fv 以外的任何元素。商群此外，为了在研究其侧类时不再关注子群的内部结构，需要为这些实体提供形成所谓商群的群定律。为了使这成为可能，子群必须是正态的。给定任何正态子群 N，商群定义为 G / N {gN, g ∈ G}, "G module N"。这个集合继承了一个群运算（有时称为边类的乘法，或边类的加法）原始组 G：(gN) • (hN) (gh) N 对于 G 的所有 gi。这个定义的动机是这样的想法（这是上面提到的一般结构考虑的一个例子），即函数 G → G / N将每个元素 g 关联到它的横向类 gN 是一个群同态，或者通过称为普遍属性的一般抽象考虑。横向类 eN N 作为该群中的一个恒等式（即，该类的所有元素都被认为是一个，它们被识别），而商群中 Ng 的倒数是 (gN ) -1 (g − 1) N。商群 D4/R 的元素是 R 本身，代表身份，和 U fvR。商中的群运算如右图所示。例如，U • U fvR • fvR (fv • fv) R R。子群 R {id, r1, r2, r3} 和相应的商都是阿贝尔，而 D4 不是阿贝尔。从较小的群构造较大的群，例如从它的子群 R 中得到 D4，并且 D4 / R 商是用一个称为半直接积的概念获得的。商和子群一起形成了一种通过其表示来描述任何群的方式：任何群是自由群在该群的生成元上的商，商是关系的子群。例如，二面体群 D4 可以由两个 rif 元素生成（例如，r r1，如果 fv 垂直反射或其他反射，则向右旋转），这意味着正方形的所有对称性都是这两个对称性或它们的逆的有限组合。连同关系 r 4 f 2 (rf) 2 1，该群被完整地描述。组演示也可用于构建 Cayley 图，这是一种用于以图形方式捕获离散组的工具。子群和商群的关系如下：G 的子集 H 可以看作是一个单射函数 H → G，即任何图像元素至多有一个反图像元素。单射函数的对应物是穷举函数（到达集的每个元素都是域中至少一个元素的映像），例如规范应用 G → G / N。根据这些同态解释子群和商强调引言中提到的这些定义中固有的结构概念。一般来说，同态既不是单射的也不是穷举的。群同态的核和像以及第一同构定理处理这种现象。单射函数的对应物是穷举函数（到达集的每个元素都是域中至少一个元素的映像），例如规范应用 G → G / N。根据这些同态解释子群和商强调引言中提到的这些定义中固有的结构概念。一般来说，同态既不是单射的也不是穷举的。群同态的核和像以及第一同构定理处理这种现象。单射函数的对应物是穷举函数（到达集的每个元素都是域中至少一个元素的映像），例如规范应用 G → G / N。根据这些同态解释子群和商强调引言中提到的这些定义中固有的结构概念。一般来说，同态既不是单射的也不是穷举的。群同态的核和像以及第一同构定理处理这种现象。这些同态强调了引言中提到的这些定义中固有的结构概念。一般来说，同态既不是单射的也不是穷举的。群同态的核和像以及第一同构定理处理这种现象。这些同态强调了引言中提到的这些定义中固有的结构概念。一般来说，同态既不是单射的也不是穷举的。群同态的核和像以及第一同构定理处理这种现象。示例和应用群的例子和应用比比皆是。一个起点是 Z 组整数，加法作为组运算，在开头介绍。如果考虑乘法而不是加法，则获得乘法群。这些群是抽象代数中重要结构的前身。群也应用于许多其他数学领域。通常通过将数学对象关联到组并研究相应组的属性来检查数学对象。例如，亨利·庞加莱 (Henri Poincaré) 通过这种联系引入了基本群，创立了现在所谓的代数拓扑，将邻近性和连续性等拓扑特性转化为群特性。例如，基本群的元素由循环表示。右边的第二幅图显示了平面内减去一个点的一些循环。蓝色循环被认为是空的（因此是不相关的）同伦，因为它可以连续收缩到一个点。孔的存在可以防止橙色环减少到一个点。带有抑制点的平面的基本群是无限循环的，由橙色环（或任何其他环绕孔的环）生成。通过这种方式，基本组检测到孔。在最近的应用中，影响也被逆转，以从群论基础获得几何构造。} 同样，几何群论采用几何概念，例如在双曲群的研究中。其他分支机构应用群的主要方式包括代数几何和数论。除了上述理论应用外，群还有很多实际应用。密码学依赖于抽象群论方法与计算群论中获得的算法知识的结合，特别是在为有限群实施时。群论的应用不仅限于数学；物理学、化学和计算机科学等科学也受益于这个概念。抽象群论方法与计算群论中获得的算法知识相结合，特别是在为有限群实施时。群论的应用不仅限于数学；物理学、化学和计算机科学等科学也受益于这个概念。抽象群论方法与计算群论中获得的算法知识相结合，特别是在为有限群实施时。群论的应用不仅限于数学；物理学、化学和计算机科学等科学也受益于这个概念。姓名许多类型的数字，例如整数和有理数，都享有自然给定的群结构。在某些情况下，与有理数一样，加法和乘法运算都会产生群结构。这些类型的数字是更一般的代数结构（称为环和体）的前身。进入带加法的整数 Z 群，记为 (Z, +)，已在开头描述。整数，用乘法运算代替加法运算 (Z, •) 不形成一个组。满足闭包公理、结合公理和恒等公理，但逆元并不总是存在：例如，a 2 是整数，但在这种情况下，方程 a • b 1 的唯一解是 b 1/2 ，这是一个有理数，但不是整数。这就是为什么并非 Z 的所有元素都具有逆（乘法）的原因。合理的存在乘法逆的愿望表明要考虑分数 a b。 {\ displaystyle {\ frac {a} {b}}.} 整数的分数（b 不为零）被称为有理数。所有分数的集合用 Q 表示。 (Q, •)，有乘法的有理数，要成为一个群还有一个更小的障碍：因为有理数 0 没有乘法逆（即没有x 使得 x • 0 1), (Q, •) 还不是一个群。然而，所有非零有理数的集合 Q \ {0} {q ∈ Q, q ≠ 0} 在乘法下形成一个阿贝尔群，记为 (Q \ {0}, •)。的结合性和公理元素标识由整数的属性产生。关闭要求在减去零后仍然有效，因为两个非零有理数的乘积永远不会为零。最后a/b的逆是b/a，所以满足逆元公理。有理数（包括0）也与加法形成一个群。交织的加法和乘法运算会出现更复杂的结构，称为环，如果可以进行除法，如 Q 体，这些结构在抽象代数中占据中心位置。但是群论的要素是这些实体理论的一部分的基础。a / b 的逆是 b / a，所以满足逆元素的公理。有理数（包括0）也与加法形成一个群。交织的加法和乘法运算会产生更复杂的结构，称为环，如果可以进行除法，如 Q 体，这些结构在抽象代数中占据中心位置。但是群论的要素是这些实体理论的一部分的基础。a / b 的逆是 b / a，所以满足逆元素的公理。有理数（包括0）也与加法形成一个群。交织的加法和乘法运算会产生更复杂的结构，称为环，如果可以进行除法，如 Q 体，这些结构在抽象代数中占据中心位置。但是群论的要素是这些实体理论的一部分的基础。这些结构在抽象代数中占据中心位置。但是群论的要素是这些实体理论的一部分的基础。这些结构在抽象代数中占据中心位置。但是群论的要素是这些实体理论的一部分的基础。零模以外的整数是素数对于任何质数 p，模算术提供模 p 的整数乘法群。它的元素是不能被 p 整除的整数，被认为是模数 p，也就是说，如果两个数的差能被 p 整除，则认为它们是等价的。例如，如果 p 5，则第 1、2、3、4 组中正好有四个元素：排除 5 的倍数，6 和 -4 都等于 1，依此类推。组运算由乘法给出。但是，4 • 4 1，因为通常的乘积 16 等价于 1，因为 5 是 16 - 1 15 的约数，表示为 16 ≡ 1（模数 5）。 p 是素数的事实确保了不能被 p 整除的两个整数也不能被 p 整除，因此所指示的类集相对于乘法是封闭的。标识元素为 1，与乘法群一样，结合性来自整数的相应属性。最后，逆元公理要求给定一个不能被 p 整除的整数 a，存在一个整数 b，使得 a•b ≡ 1 (mod p)，即 p 是差 a• b - 1 的除数。可以使用 Bézout 恒等式和最大公约数 gcf (a, p) 等于 1 的事实找到逆元素 b。在之前的情况 p 5 中，4 的倒数是 4，3 的倒数是2, 因为 3 • 2 6 ≡ 1 (mod 5)。这就是为什么所有群公理都得到满足的原因。其实这个例子和之前的(Q\{0},•)类似，因为它原来是有限域Fp中非零元素的乘法群，记为Fp×。这些组在公钥密码学中是必不可少的。结合性来自整数的相应性质。最后，逆元公理要求给定一个不能被 p 整除的整数 a，存在一个整数 b，使得 a•b ≡ 1 (mod p)，即 p 是差 a• b - 1 的除数。可以使用 Bézout 恒等式和最大公约数 gcf (a, p) 等于 1 的事实找到逆元素 b。在之前的情况 p 5 中，4 的倒数是 4，3 的倒数是2, 因为 3 • 2 6 ≡ 1 (mod 5)。这就是为什么所有群公理都得到满足的原因。其实这个例子和之前的(Q\{0},•)类似，因为它原来是有限域Fp中非零元素的乘法群，记为Fp×。这些组在公钥密码学中是必不可少的。结合性来自整数的相应性质。最后，逆元公理要求给定一个不能被 p 整除的整数 a，存在一个整数 b，使得 a•b ≡ 1 (mod p)，即 p 是差 a• b - 1 的除数。可以使用 Bézout 恒等式和最大公约数 gcf (a, p) 等于 1 的事实找到逆元素 b。在之前的情况 p 5 中，4 的倒数是 4，3 的倒数是2, 因为 3 • 2 6 ≡ 1 (mod 5)。这就是为什么所有群公理都得到满足的原因。其实这个例子和之前的(Q\{0},•)类似，因为它原来是有限域Fp中非零元素的乘法群，记为Fp×。这些组在公钥密码学中是必不可少的。最后，逆元公理要求给定一个不能被 p 整除的整数 a，存在一个整数 b，使得 a•b ≡ 1 (mod p)，即 p 是差 a• b - 1 的除数。可以使用 Bézout 恒等式和最大公约数 gcf (a, p) 等于 1 的事实找到逆元素 b。在之前的情况 p 5 中，4 的倒数是 4，3 的倒数是2, 因为 3 • 2 6 ≡ 1 (mod 5)。这就是为什么所有群公理都得到满足的原因。其实这个例子和之前的(Q\{0},•)类似，因为它原来是有限域Fp中非零元素的乘法群，记为Fp×。这些组在公钥密码学中是必不可少的。最后，逆元公理要求给定一个不能被 p 整除的整数 a，存在一个整数 b，使得 a•b ≡ 1 (mod p)，即 p 是差 a• b - 1 的除数。可以使用 Bézout 恒等式和最大公约数 gcf (a, p) 等于 1 的事实找到逆元素 b。在之前的情况 p 5 中，4 的倒数是 4，3 的倒数是2, 因为 3 • 2 6 ≡ 1 (mod 5)。这就是为什么所有群公理都得到满足的原因。其实这个例子和之前的(Q\{0},•)类似，因为它原来是有限域Fp中非零元素的乘法群，记为Fp×。这些组在公钥密码学中是必不可少的。存在一个整数 b 使得 a • b ≡ 1 (mod p)，即 p 是差 a • b - 1 的约数。可以使用 Bézout 恒等式和最大公约数的事实找到逆元素 b gcf (a, p) 等于1。在p 5 之前的情况下，4 的倒数是4，3 的倒数是2，因为3 • 2 6 ≡ 1 (mod 5)。这就是为什么所有群公理都得到满足的原因。其实这个例子和之前的(Q\{0},•)类似，因为它原来是有限域Fp中非零元素的乘法群，记为Fp×。这些组在公钥密码学中是必不可少的。存在一个整数 b 使得 a • b ≡ 1 (mod p)，即 p 是差 a • b - 1 的约数。可以使用 Bézout 恒等式和最大公约数的事实找到逆元素 b gcf (a, p) 等于1。在p 5 之前的情况下，4 的倒数是4，3 的倒数是2，因为3 • 2 6 ≡ 1 (mod 5)。这就是为什么所有群公理都得到满足的原因。其实这个例子和之前的(Q\{0},•)类似，因为它原来是有限域Fp中非零元素的乘法群，记为Fp×。这些组在公钥密码学中是必不可少的。并且 3 的倒数是 2，因为 3 • 2 6 ≡ 1 (mod 5)。这就是为什么所有群公理都得到满足的原因。其实这个例子和之前的(Q\{0},•)类似，因为它原来是有限域Fp中非零元素的乘法群，记为Fp×。这些组在公钥密码学中是必不可少的。并且 3 的倒数是 2，因为 3 • 2 6 ≡ 1 (mod 5)。这就是为什么所有群公理都得到满足的原因。其实这个例子和之前的(Q\{0},•)类似，因为它原来是有限域Fp中非零元素的乘法群，记为Fp×。这些组在公钥密码学中是必不可少的。循环群循环群是一个群，其元素是特定元素a的幂（当群运算是加法写的，那么你可以使用术语multiple）。在乘法记法中，群的元素是： ..., a − 3, a − 2, a − 1, a0 e, a, a2, a3, ..., 其中 a2 表示 a • a, ia − 3表示 a − 1 • a − 1 • a − 1 (a • a • a) −1，依此类推。一个元素作为组的生成器或原始元素。这类群的一个典型例子是该单位的第无数复根群，由满足 zn 1 的复数 z 组成（和乘法运算）。任何有 n 个元素的循环群都同构于这个群。使用物体理论，可以证明群 Fp × 是循环的：对于 ap 5，3 是一个生成元，因为 31 3、32 9 ≡ 4、33 ≡ 2 和 34 ≡ 1。每个无限循环群都同构于 (Z, +)，即上面提出的具有加法的整数群。由于这两个原型是两个阿贝尔群，所以必须是任何循环群。阿贝尔群的研究相当成熟，包括有限生成阿贝尔群的基本定理；反映这种情况，许多与群相关的概念，例如群的中心和开关，描述了给定群不是阿贝尔的程度。反映这种情况，许多与群相关的概念，例如群的中心和开关，描述了给定群不是阿贝尔的程度。反映这种情况，许多与群相关的概念，例如群的中心和开关，描述了给定群不是阿贝尔的程度。对称群另请参阅：分子对称对称群是由给定数学对象的对称性组成的群，这些对象具有几何性质，例如介绍性平方对称群，或具有代数性质，例如多项式方程及其解。从概念上讲，群论可以被认为是对对称性的研究。数学中的对称性极大地简化了几何或分析对象的研究。如果一个群的所有元素都以符合群定律的方式对 X 执行某种操作，则称该群作用于另一个数学对象 X。在右下角的示例中，三角形组 (2,3,7) 的 7 阶元素通过排列突出显示的变形三角形（以及其他三角形）而作用于图块。对于集体行动，组模式与其作用的对象的结构相关联。在化学领域，如晶体学，空间被分组，对称点群描述了分子对称性和晶体对称性。这些对称性是这些系统物理和化学行为的基础，群论简化了量子力学对这些特性的分析。例如，群论被用来表明某些量子能级之间的光学跃迁不能仅仅因为所涉及的状态的对称性而发生。不仅有用于评估对称性对分子的影响的有用组，而且令人惊讶的是，他们还预测分子有时会改变对称性。这Jahn-Teller 效应是高度对称分子的扭曲，当它从一组可能的基态中采用特定的低对称态时，这些基态通过分子的对称操作相互关联。同样，群论有助于预测当材料经历状态变化时出现的物理特性，例如，从立方晶形到四面体晶形。一个例子是铁电材料，其中从顺电状态到铁电状态的变化发生在居里温度，并且与从高对称顺电状态到低对称铁电状态的变化有关，伴随着所谓的软声子模式，一种模式振动晶格在过渡时通过零频率。这种对称性的自发破裂已经在基本粒子物理学中得到了应用，在基本粒子物理学中，它的出现与戈德斯通玻色子的出现有关。有限对称群，如 Mathieu 群，被用于码论中，用于纠正传输数据中的错误，以及 CD 播放器。另一个应用是伽罗瓦微分理论，它表征具有指定形式的基元的函数，给出某些微分方程的解何时具有某些解析形式的解的群理论标准。在几何不变量理论中研究了在群作用下保持稳定的几何性质。这种对称性的自发破裂已经在基本粒子物理学之外找到了应用，在那里它的出现与戈德斯通玻色子的出现有关。有限对称群，如 Mathieu 群，被用于码论中，用于纠正传输数据中的错误，以及 CD 播放器。另一个应用是伽罗瓦微分理论，它表征具有指定形式的基元的函数，给出某些微分方程的解何时具有某些解析形式的解的群理论标准。在几何不变量理论中研究了在群作用下保持稳定的几何性质。这种对称性的自发破裂已经在基本粒子物理学之外找到了应用，在那里它的出现与戈德斯通玻色子的出现有关。有限对称群，如 Mathieu 群，被用于码论中，用于纠正传输数据中的错误，以及 CD 播放器。另一个应用是伽罗瓦微分理论，它表征具有指定形式的基元的函数，给出某些微分方程的解何时具有某些解析形式的解的群理论标准。在几何不变量理论中研究了在群作用下保持稳定的几何性质。在基本粒子物理学中，它的出现与戈德斯通玻色子的出现有关。有限对称群，如 Mathieu 群，被用于码论中，用于纠正传输数据中的错误，以及 CD 播放器。另一个应用是伽罗瓦微分理论，它表征具有指定形式的基元的函数，给出某些微分方程的解何时具有某些解析形式的解的群理论标准。在几何不变量理论中研究了在群作用下保持稳定的几何性质。在基本粒子物理学中，它的出现与戈德斯通玻色子的出现有关。有限对称群，如 Mathieu 群，被用于码论中，用于纠正传输数据中的错误，以及 CD 播放器。另一个应用是伽罗瓦微分理论，它表征具有指定形式的基元的函数，给出某些微分方程的解何时具有某些解析形式的解的群理论标准。在几何不变量理论中研究了在群作用下保持稳定的几何性质。有限对称群，如 Mathieu 群，被用于码论中，用于纠正传输数据中的错误，以及 CD 播放器。另一个应用是伽罗瓦微分理论，它表征具有指定形式的基元的函数，给出某些微分方程的解何时具有某些解析形式的解的群理论标准。在几何不变量理论中研究了在群作用下保持稳定的几何性质。有限对称群，如 Mathieu 群，被用于码论中，用于纠正传输数据中的错误，以及 CD 播放器。另一个应用是伽罗瓦微分理论，它表征具有指定形式的基元的函数，给出某些微分方程的解何时具有某些解析形式的解的群理论标准。在几何不变量理论中研究了在群作用下保持稳定的几何性质。给出某些微分方程的解何时具有某些解析形式的解的理论群标准。在几何不变量理论中研究了在群作用下保持稳定的几何性质。给出某些微分方程的解何时具有某些解析形式的解的理论群标准。在几何不变量理论中研究了在群作用下保持稳定的几何性质。一般线性群和表示理论矩阵组由矩阵和矩阵的乘法组成。一般线性群 GL (n, R) 由所有具有实系数的可逆 n×n 矩阵组成。为了指代它们的子群，我们称矩阵群或线性群。上面提到的二面体群的例子可以看作是一个（非常小的）矩阵群。另一个重要的矩阵群是特殊的正交群 SO (n)。描述维度 n 中所有可能的旋转。通过欧拉角，旋转矩阵被用于计算机图形学，表示论既是群概念的应用，也是深入理解群的重要元素。研究小组在其他空间的小组行动。一大类群表示是线性表示，即群作用于向量空间，例如三维欧几里得空间 R3。 G 在 n 维实向量空间中的表示只是群 ρ 的同态：G → GL (n, R) 从群到一般线性群。通过这种方式，可以抽象方式给出的群运算转化为矩阵的乘法，使其可用于显式计算。群动作提供了其他方法来研究 s 'Act 的对象。另一方面，它也产生关于组的信息。群表示是有限群、李群、代数群和拓扑群，尤其是（局部）紧群理论中的组织原理。该群作用于一个向量空间，例如三维欧几里得空间 R3。 G 在 n 维实向量空间中的表示只是群 ρ 的同态：G → GL (n, R) 从群到一般线性群。通过这种方式，可以抽象方式给出的群运算转化为矩阵的乘法，使其可用于显式计算。群动作提供了其他方法来研究 s 'Act 的对象。另一方面，它也产生关于组的信息。群表示是有限群、李群、代数群和拓扑群，尤其是（局部）紧群理论中的组织原理。该群作用于一个向量空间，例如三维欧几里得空间 R3。 G 在 n 维实向量空间中的表示只是群 ρ 的同态：G → GL (n, R) 从群到一般线性群。通过这种方式，可以抽象方式给出的群运算转化为矩阵的乘法，使其可用于显式计算。群动作提供了其他方法来研究 s 'Act 的对象。另一方面，它也产生关于组的信息。群表示是有限群、李群、代数群和拓扑群，尤其是（局部）紧群理论中的组织原理。G 在 n 维实向量空间中的表示只是群 ρ 的同态：G → GL (n, R) 从群到一般线性群。通过这种方式，可以抽象方式给出的群运算转化为矩阵的乘法，使其可用于显式计算。群动作提供了其他方法来研究 s 'Act 的对象。另一方面，它也产生关于组的信息。群表示是有限群、李群、代数群和拓扑群，尤其是（局部）紧群理论中的组织原理。G 在 n 维实向量空间中的表示只是群 ρ 的同态：G → GL (n, R) 从群到一般线性群。通过这种方式，可以抽象方式给出的群运算转化为矩阵的乘法，使其可用于显式计算。群动作提供了其他方法来研究 s 'Act 的对象。另一方面，它也产生关于组的信息。群表示是有限群、李群、代数群和拓扑群，尤其是（局部）紧群理论中的组织原理。可以以抽象的方式给出，转化为矩阵的乘法，使其可用于显式计算。组动作提供了其他方法来研究对其采取动作的对象。另一方面，它也产生关于组的信息。群表示是有限群、李群、代数群和拓扑群，尤其是（局部）紧群理论中的组织原理。可以以抽象的方式给出，转化为矩阵的乘法，使其可用于显式计算。组动作提供了其他方法来研究对其采取动作的对象。另一方面，它也产生关于组的信息。群表示是有限群、李群、代数群和拓扑群，尤其是（局部）紧群理论中的组织原理。代数群和拓扑群，尤其是（局部）紧致群。代数群和拓扑群，尤其是（局部）紧致群。伽罗华群伽罗瓦群的开发是为了通过利用它们的对称特征来帮助求解多项式方程。例如，二次方程 ax2 + bx + c 0 的解由 x - b ± b 2 - 4 a c 2 a 给出。 {\ displaystyle x {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.} 交换表达式中的“+”和“-”，也就是说，通过排列方程的两个解可以看作是一个（非常简单的）群运算。三次和四次方程的类似公式是已知的，但对于 5 次及以上的方程，它们通常不存在。与多项式相关联的伽罗瓦群的抽象性质（特别是它们的可解性）给出了一个标准，即多项式具有可通过根表示的所有解，即仅使用加法、乘法和根的可表示解，类似于上述公式。问题可以使用场论进行更完善的处理：考虑多项式的分解体，问题在场论领域被转化为另一个问题。现代伽罗瓦理论将引用类型的伽罗瓦群概括为物体的扩展，并通过伽罗瓦理论的基本定理建立了物体和群之间的精确关系，再次强调了群在数学中的普遍性。有限群如果一个群的元素个数是有限的，那么这个群称为有限群。元素的个数称为群G的阶。一个重要的类是对称群SN，即N个字母的置换群。例如，3 个字母 S3 上的对称群是由三个字母 ABC 的所有可能排列组成的群，也就是说它包含元素 ABC、ACB ...，直到 CBA，总共有 6 个（或 3阶乘 ) 元素。这个类是基本的，因为任何有限群都可以表示为一个对称群 SN 的一个子群，用于一个合适的整数 N（凯莱定理）。平行于起始正方形的对称群，S3也可以解释为等边三角形的对称群。群 G 中元素 a 的阶是最小的正整数 n，使得 ane，其中 an 代表 a ⋯ a ⏟ n 个因子，{\ displaystyle \ underbrace {{} \ a \ \ cdots \ a \ {}} _ {n {\ text {factors}}},} 即应用操作 • 在副本中一种。（如果 • 表示乘法，则 an 对应于 a 的 n 次方。）在无限群中，这样的 n 可能不存在，在这种情况下，a 的阶称为无限。一个元素的阶等于该元素生成的循环群的阶。更复杂的计数技术，如横向类计数，产生关于有限群的更准确的陈述：拉格朗日定理指出，对于有限群 G，任何有限子群 H 的阶是近似 G 的约数。 Sylow 定理给出了部分逆。二面体群（上面讨论过）是一个 8 阶有限群。 r1 的阶是 4，它生成的子群 R 的阶也是 4（见上文）。反射元素 fv 的顺序等。是 2。这两个阶数是 8 的除数，正如拉格朗日定理所预测的那样。上面的 Fp × 组的阶数为 p - 1。任何有限子群 H 的阶是近似 G 的约数。 Sylow 定理给出了部分逆。二面体群（上面讨论过）是一个 8 阶有限群。 r1 的阶是 4，它生成的子群 R 的阶也是 4（见上文）。反射元素 fv 的顺序等。是 2。这两个阶数是 8 的除数，正如拉格朗日定理所预测的那样。上面的 Fp × 组的阶数为 p - 1。任何有限子群 H 的阶是近似 G 的约数。 Sylow 定理给出了部分逆。二面体群（上面讨论过）是一个 8 阶有限群。 r1 的阶是 4，它生成的子群 R 的阶也是 4（见上文）。反射元素 fv 的顺序等。是 2。这两个阶数是 8 的除数，正如拉格朗日定理所预测的那样。上面的 Fp × 组的阶数为 p - 1。上面的 Fp × 组的阶数为 p - 1。上面的 Fp × 组的阶数为 p - 1。有限单群的分类数学家经常努力实现数学概念的完整（或列表）分类。在有限群的背景下，这个目的很快就会导致深刻的数学困难。根据拉格朗日定理，质数 p 阶有限群必然是循环（阿贝尔）群 Zp。阶 p2 的群也可以显示为阿贝尔群，该陈述不能推广到阶 p3，如上面所示的 8 阶 23 阶非阿贝尔群 D4。符号代数计算机系统可用于列出小群，但没有对所有有限群进行分类。一个中间步骤是简单有限群的分类。一个不平凡的群体如果它的正常子群只是平凡群和群本身，则调用简单。 Jordan-Hölder 定理将简单群作为所有有限群的构建块。列出所有有限单群是当代群论的一项重大成就。 1998 年菲尔兹奖的获得者 Richard Borcherds 成功地证明了可怕的月光猜想，这是“怪物群”（最大的零星简单有限群）与某些模形状的惊人而深刻的关系，这是复分析的经典元素和弦理论，如果该理论成立，它将统一对许多物理现象的描述。列出所有有限单群是当代群论的一项重大成就。 1998 年菲尔兹奖的获得者 Richard Borcherds 成功地证明了可怕的月光猜想，这是“怪物群”（最大的零星简单有限群）与某些模形状的惊人而深刻的关系，这是复分析的经典元素和弦理论，如果该理论成立，它将统一对许多物理现象的描述。列出所有有限单群是当代群论的一项重大成就。 1998 年菲尔兹奖的获得者 Richard Borcherds 成功地证明了可怕的月光猜想，这是“怪物群”（最大的零星简单有限群）与某些模形状的惊人而深刻的关系，这是复分析的经典元素和弦理论，如果该理论成立，它将统一对许多物理现象的描述。复分析和弦理论的经典元素，弦理论如果为真，将统一对许多物理现象的描述。复分析和弦理论的经典元素，弦理论如果为真，将统一对许多物理现象的描述。具有附加结构的组许多组同时是其他数学结构的组和示例。在范畴论的语言中，它们是一个范畴中的群对象，这意味着它们是带有模拟群公理的变换（称为态射）的对象（即另一个数学结构的例子）。例如，所有的组（如上面定义的那些）也是一个集合，所以一个组就是集合类别中的一个组对象。拓扑群一些拓扑空间可以被赋予群律。为了使群律和拓扑匹配得很好，群运算必须是连续函数，即如果 gih 变化很小，g•h,ig-1 不能突然变化。这样的群称为拓扑群，是拓扑空间范畴中的群对象。最基本的例子是带有加法的实数 R，(R \ {0}, •)，以及类似的任何其他拓扑体，如复数或 p-adic 数。所有这些群都是局部紧的，所以它们有哈尔测量，可以通过调和分析来研究。第一个提供了不变积分的抽象形式。例如，在实数的情况下，不变意味着：∫ f (x) d x ∫ f (x + c) d x {\ displaystyle \ int f (x) \, dx \ int f (x + c) \, dx} 对于任何常数 c。这些物体上的矩阵群属于这种情况，就像极数环和极数代数群的情况一样，它们是数论的基础。物体的无限扩展的伽罗瓦群，例如绝对伽罗瓦群，也可以配备拓扑，即所谓的克鲁尔拓扑，这反过来又是将上面概述的物体和群之间的联系推广到无限物体的扩展的核心。 .这个想法的高级概括，适应代数几何的需要，它是étale的基本群。李群李群（以纪念 Sophus Lie）是同样具有可微变异结构的群，也就是说，它们是在局部有点类似于足够大小的欧几里得空间的空间。同样，附加结构，这里是可微分结构，必须兼容，即对应于乘法和逆的函数必须是平滑的。一个标准的例子是上面介绍的一般线性群：它是所有 n×n 矩阵空间的开子集，因为它由不等式 det (A) ≠ 0 给出，其中 A 表示一个 n×n 矩阵n 矩阵李群在物理学中具有重要意义：诺特定理将连续对称性与守恒定律联系起来。旋转以及平移空间和时间是力学定律的基本对称性。例如，它们可以用于构建简单的模型，并在某种情况下施加轴对称，并且通常会显着简化需要求解以提供物理描述的方程。另一个例子是洛伦兹变换的洛伦兹群，它涉及两个相对运动的观察者的时间和速度的测量。它们可以纯粹从群论中推导出来，将变换表示为闵可夫斯基空间的旋转对称。这个空间在作为狭义相对论中时空模型的显着引力缺失中起到了作用。闵可夫斯基空间的完全对称群，也就是说，包括翻译在内，它被称为庞加莱群。从已经解释的内容来看，它在狭义相对论中起着关键作用，并且暗示了量子场论。在规范理论的帮助下，随位置变化的对称性是现代描述物理相互作用的核心。概括在抽象代数中，通过放宽一些定义群的公理来定义更一般的结构。例如，如果删除所有元素都具有逆的要求，则生成的代数结构称为幺半群。自然数 N（包括 0）与加法形成一个幺半群，非零整数与乘法 (Z \ {0}, •) 一样，见上文。有一个通用的方法可以对任何幺半群（阿贝尔）的元素进行形式上的逆添加，非常类似于从 (Z \ {0}, •) 获得的相同路径 (Q \ {0}, •)，称为格洛腾迪克小组。 Groupids 类似于组，除了不需要为所有 a 和 b 定义组合 a • b。它们出现在对更复杂的对称形式的研究中，通常在拓扑和分析结构中，例如基本的小行星。右表列出了一些概括了群概念的结构。 NotesReferènciesBibliografiaReferències especialsReferències històriques

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